Definisi
Dalam matematika, deret merupakan barisan bilangan yang berurutan. Terdapat dua jenis deret umum, yaitu deret aritmatika dan deret geometri. Berikut penjelasan mengenai definisi masing-masing deret tersebut:
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah deret bilangan yang memiliki beda tetap antar suku-sukunya. Beda merupakan selisih antara dua suku yang berurutan. Rumus umum deret aritmatika adalah Un = a + (n-1)b, dengan a sebagai suku pertama, b sebagai beda, dan n sebagai nomor suku.
Deret Geometri
Deret geometri adalah deret bilangan yang memiliki rasio tetap antar suku-sukunya. Rasio merupakan hasil bagi antara dua suku yang berurutan. Rumus umum deret geometri adalah Un = a * r^(n-1), dengan a sebagai suku pertama, r sebagai rasio, dan n sebagai nomor suku.
Rumus Umum
Dalam deret matematika, memahami rumus umum untuk setiap suku sangat penting untuk melakukan berbagai operasi dan perhitungan.
Terdapat dua jenis deret yang umum dipelajari, yaitu deret aritmatika dan deret geometri. Keduanya memiliki rumus umum yang berbeda untuk menghitung suku ke-n.
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah deret bilangan yang memiliki selisih tetap antara setiap suku yang berurutan. Rumus umum suku ke-n deret aritmatika adalah:
Un = a + (n – 1)b
Dimana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- b adalah beda
- n adalah nomor suku
Deret Geometri
Deret geometri adalah deret bilangan yang memiliki rasio tetap antara setiap suku yang berurutan. Rumus umum suku ke-n deret geometri adalah:
Un = a * rn-1
Dimana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah nomor suku
Sifat-sifat
Deret aritmatika dan deret geometri memiliki sifat-sifat yang berbeda, yang menjadi ciri khas masing-masing.
Deret Aritmatika
Deret aritmatika memiliki sifat utama yaitu selisih antar suku-sukunya selalu konstan. Selisih ini dikenal sebagai beda deret dan dinotasikan dengan d.
- Beda deret (d) = suku ke-n – suku ke-(n-1)
Deret Geometri
Di sisi lain, deret geometri memiliki sifat khas berupa rasio antar suku-sukunya yang selalu tetap. Rasio ini disebut rasio deret dan dinotasikan dengan r.
- Rasio deret (r) = suku ke-n / suku ke-(n-1)
Perbedaan Utama
Deret aritmatika dan geometri merupakan dua jenis deret matematika yang berbeda secara signifikan. Perbedaan utama mereka dapat dilihat pada tabel berikut:
| No | Deret Aritmatika | Deret Geometri | Perbedaan |
|---|---|---|---|
| 1 | Perbedaan suku yang berurutan adalah konstan | Rasio suku yang berurutan adalah konstan | Cara perhitungan suku berikutnya berbeda |
| 2 | Suku pertama + selisih suku = suku berikutnya | Suku pertama x rasio = suku berikutnya | Rumus untuk suku ke-n berbeda |
| 3 | Digunakan dalam situasi di mana penambahan atau pengurangan konstan | Digunakan dalam situasi di mana pertumbuhan atau peluruhan bersifat eksponensial | Penerapan dalam kehidupan nyata berbeda |
Contoh
Deret aritmatika dan geometri dapat ditemukan dalam berbagai aplikasi dunia nyata. Berikut adalah beberapa contoh:
Deret Aritmatika
- Pola kenaikan suhu harian, dengan selisih suhu yang sama setiap hari.
- Pembayaran pinjaman yang sama setiap bulan, dengan bunga yang tetap.
Deret Geometri
- Pertumbuhan populasi bakteri, dengan jumlah bakteri yang meningkat dengan rasio tetap setiap periode waktu.
- Penurunan nilai suatu investasi, dengan persentase penurunan yang sama setiap tahun.
Aplikasi
Deret aritmatika dan geometri memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan sehari-hari dan bidang ilmiah.
Aplikasi Deret Aritmatika
Dalam kehidupan sehari-hari, deret aritmatika sering digunakan untuk:
- Menghitung jumlah bunga majemuk
- Memprediksi populasi yang tumbuh pada tingkat konstan
- Menghitung biaya sewa yang meningkat secara teratur
Aplikasi Deret Geometri
Dalam bidang keuangan dan ilmu alam, deret geometri memiliki aplikasi yang luas, antara lain:
- Menghitung nilai investasi yang tumbuh dengan suku bunga majemuk
- Memprediksi peluruhan radioaktif
- Menganalisis pola pertumbuhan bakteri
Ilustrator
Diagram dan gambar visual dapat membantu memahami perbedaan antara deret aritmatika dan geometri. Berikut ini adalah penjelasan dan ilustrasinya:
Diagram Deret
- Deret Aritmatika:
- Diagramnya menunjukkan garis lurus karena selisih antar suku sama.
- Suku-sukunya bertambah atau berkurang dengan selisih konstan.
- Deret Geometri:
- Diagramnya menunjukkan kurva eksponensial karena suku-sukunya dikalikan dengan rasio konstan.
- Suku-sukunya bertambah atau berkurang secara eksponensial.
Gambar Perubahan Suku
- Deret Aritmatika:
- Suku-sukunya berubah secara linear, bertambah atau berkurang dengan jumlah yang sama setiap kali.
- Misalnya, dalam deret 3, 7, 11, 15, setiap suku bertambah 4.
- Deret Geometri:
- Suku-sukunya berubah secara eksponensial, dikalikan dengan faktor yang sama setiap kali.
- Misalnya, dalam deret 2, 6, 18, 54, setiap suku dikalikan dengan 3.
